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一、证明题

1． 设

和

为正项级数，且存在正数

对一切

证明：若级数【答案】由题意

收敛，则级数

时，

也收敛；若

从而

又因为改变有限项不改变的敛散性，所以由比较原则，若级数若发散，则也发散.

2． 设函数

在区间立等式

：

【答案】设

则

收敛，则级数

也收敛；

发散，则

也发散 有

，上严格递增且连续，

. 注意到

故

为的反函数，试证成

3．

设函数列

在[a，b]上可导，且存在M>0，使得对任意正整数n

和

成立. 证明：如果级数

【答案】使得

因当令不妨设

收敛，存在正整動时有

对任意正整数p 都成立当n>N时，

于是

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有

在[a，b]上收敛，则必一致收敛.

取正整数m 充分大，将[a，b]m等分：

从而

4． 设

【答案】设

在[a，b]上一致收敛. 并且对于任何

则有

对上式两边同时求导，得

即 5．

设

【答案】因为

所以，当

时

在S 的外部时，由高斯公式，有

在S 上时，

如果S 在敛。

同样，取充分小的

记为以

为球心，为半径的球面，用表示从S 上被截

下而不被所包围的部分曲面，

表示上含在V 内的部分，则

其中，取内侧. 因为s 在点

是光滑的，在点

有切平面，所以S 在点(0, 0, 0)

为无界函数的曲面积分，且

收

S 为一封闭曲面

，

证明当原点在曲面S

外、上、内时分别有

于是对两边取转置又得

有

常数，证明

是光滑的，由类似于无界函数的二重积分的讨论，可知反常积分

的附近可用这个切平面近似代替，即S 2可看作的半个球面，故

在S 的内部时，取充分小

使以

为球心，为半径的球面在V

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的内部，记为S 和所围成的区域，取内侧，则

6． 设f , g 为D 上的有界函数. 证明：

(1) (2)

【答案】(1) 对任意的

有

于是

故

(2) 对任意的

有

于是

故

二、解答题

7． 求下列函数的高阶偏导数：

所有二阶偏导数； 所有二阶偏导数；

所有二阶偏导数； 所有二阶偏导数；

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