2017年苏州大学数学科学学院618数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 用区间套定理证明确界原理.
【答案】设是非空有上界的数集，b 是S 的一个上界，a 不是S 的上界，显然令
区间
且
令
于是有
且
如此下去，得一区间套由区间套定理知，存在
首先，
其次，
界，故
2． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.
【答案】设有一个奇次方程为则
由得
于是
知，
存在正数
使得
由
知，存在负数
：
使
异号. 由根的存在定理知，
内至少有一个根.
其中
设
令
有因为
因而
所以当n 充分大时有
，其具有性质：不是S 的上界，是S 的上界
且
往证
即
是的一个上界.
而不是的上界，所y 不是的上
若不是的上界，则取
，
若
是的上界，
则取
若
是的上界，则取
若不是的上界，则取..
. 于是得
故任一实系数奇次方程至少有一个实根.
3． 设是区间I 上有界且一致连续的函数，求证：
【答案】由于
在区间I 上有界，则存在
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在I 上一致连续.
使得
再由
的一致连续性得到，
对于任意
从而
存在使得当
^时，
有
所以
4．
【答案】根据题意，
则
易知显然由(1) 若若c=0，则
当b —c=0时，取(2) 若
当
在
当
理，存在使
得得
. 证. 5． 设
是定义在
上的连续的偶函数，则上的连续的偶函数知
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在区间I 上一致连续.
满
足
证明存在非负单调数
列
使
得
. 则
, 若
则
则由推广的罗尔定理知，
存在
又
必有时
，
使得
使得
再
由
必有
又
在某在某
又
(或者用保号性及介值定理，存
处达到最大值，
处达到最小值，利用推广的罗尔定理，存在
利用推广的罗尔定理，存
在
使得
使结论得
；
(或者用保号性及介值定
使得
当c=0时，
由于
时，
使得
综上所述，存在.
这样继续下去，
得到存在非负的单调增数列
从而令
有
【答案】由f (x ) 是定义在
从而
所以原命题成立.
二、解答题
6．
求
度，并求梯度为零之点。
【答案】因为在点在点因
令
解之得
7． 求下列不定积分：
【答案】（1）设
比较等式两端x 的同次幂系数，得
由此，得
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在点
所以：
在点
处的梯
因此使梯度为零之点为
通分后应有