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一、证明题

1． 求证:

(1)

若(2)

若

则则

，所以对任给定

存在m ，当

时，便有

于是，对

【答案】(1) 因为有

注意到，当取定时，这样，当

时，有

从而(2) 因为

对

2． 设函数明：(1) 存在

【答案】(1) 令

在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且

使得

(2) 存在则

函数函数

在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.

使得

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便是一个有限数，再取

使得当时，有

应用第(1) 小题结论，

即得

证

使得

由连续函数的零点存在定理知，存在即存在使得

(2)

令显然在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于

且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于

3． 设

所以有

使得使得

即

即

..

上处处连续，对x 在

当

上(且且

定义在闭矩形域

固定的

上，若f 对y 在为y 的连续函数，

故对

关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.

【答案】

设

时，有

又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述

且

现取

便有

只要

且

时，总有

因此，f 在S 上连续.

4． 证明：若(1)

存在且等于A ;

存在

当

又由条件(2) 知：当：^在1) 的某邻

域

时，在①式中，令

从而

5． 设a ，b ，A 是均不为零的有限数，证明

【答案】因为当由

时

故

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也存在对满足的任何y ，

只要

(2) y在b 的某邻域内，存在有【答案】由条件(1) 知：对任给

1时，有

内

时

1存在.

令

得

即

的充分必要条件是：

先证必要性.

所以且

再证充分性. 因为故因此有

(当时) ，

所以

6． 证明：对任何

(1

) (2

)

并说明等号何时成立. 【答案】(1) 由三角不等式当且仅当(2

)

当且仅当x=2时，等号成立.

时，等号成立.

可知，

有

二、计算题

7． 将函数

【答案】

在

在

上展开成傅立叶级数，并求级動

上是偶函数，有

的和.

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