2016年安徽师范大学物理与电子信息学院Z1001高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 推导余切函数及余割函数的导数公式:
【答案】
2． 设数列
满足条件：
=3，
=1，
.S （x ）是幂级数
。
（1）证明：
（2）求S （x ）的表达式.
【答案】（1）由已知条件，可计算得
所以，因为S （x ）
=
因为
，所以
所以和－1，通解为
因为
解得
=2，
=1，所以
.
，所以
的特征方程为
，计算得特征根为1
的收敛半径为+∞.
，所以
（2）由题意知，齐次微分方程
3． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
令
，故
，
得
，
当
时
，
，
当
时
，
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
小值。
4． 求三平面x ＋3y ＋z=1，2x －y －z=0，﹣x ＋2y ＋2z=3的交点.
【答案】联立三平面方程
解得，x=1，y=﹣1，z=3.故所求交点为（1，﹣1, 3）.
5． 求过两点
（3，﹣2，1）和
（﹣l ，0，2）的直线方程.
因此所求直线方程为
6． 设函数f （x ）在
内具有一阶连续导数，L 是上半平面（y>0）内的有向分段光
【答案】取所求直线的方向向量
，终点为（c ，d ）滑曲线，其起点为（a ，b ）。记
（1）
【答案】曲线积分I 与路径无关; （2）当ab=cd时，求I 的值。 答:（l ）因为
在上半平面这个单连通区域内处处成立，所以在上半平面内曲线积分与路径L 无关。 （2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点（a ，b ）到点（c ，b ）再到点（c ，d ）的有向折线， 从而得
当ab=cd时，
，由此得
。
二、证明题
7． 设L 为xOy 面内x 轴上从点（a , 0）到点（b , 0）的一段直线，证明
【答案】将L 的方程表达为如下的参数形式
于是
8． 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值:
【答案】（1）函数P=x+y，Q=x-y在整个xOy 面这个单连通区域内，具有一阶连续偏导数，且
，故曲线积分在xOy 面内与路径无关。取折线积分路径MRN ，其中M 为（1，
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