2016年华北电力大学数理系高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 设m=3i＋5j ＋8k ，n=2i-4j-7k和p=5i＋j-4k. 求向量α=4m＋3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
【答案】 α=4m＋3n-p=4（3i ＋5j ＋8k ）＋3（2i-4j-7k ）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k, α在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.
2． 把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为а的一扇形后围成一无底圆锥。试将这圆锥的体积表为а的函数。
【答案】设围成的圆锥底半径为r ，高为h ，则按题意（图）有
图
故
圆锥体积
3． 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是
（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360m 需要多少时间?
【答案】（l ）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动, 位移函数为s=s（t ）, 则
于是由假设可知s （0）=0, 故（2）由
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, 问
, 所求距离为s （3）=27（m ）。
, 得
4． 设
【
答
案
】
5． 把积分
化为三次积分，其中积分区域是由曲面
及平
面y=1，z=0所围成的闭区域。
【答案】为一曲顶柱体，其顶为
2
，底位于xOy 面上，其侧面由抛物柱面y=x
及平面y=1所组成。由此可知在xOy 面上的投影区域
因此
6． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，其中积分区域D 是由圆周
围成；
，，1, 1），其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1, 0）（
；
（2, 0）
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
，故有
根据二重积分的性质4，可得
（2）由于积分区域D 位于半平
面
。从而
（3）由于积分区域D 位于条形区域
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所
。
内，故在D 上
有
。
内，故知区域D 上的点满足
，从而有。因此
（4）由于积分区域D 位于半平面而
，因此
内，故在D 上有，从
二、证明题
7． 设0 证明存在一点 , 使【答案】取函数 由柯西中值定理知至少存在一点 即 亦即 8． 已知 【答案】由向量的几何意义知 ，求△OAB 的面积。 在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且, 使 故 第 4 页，共 27 页
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