2016年长春师范大学数学学院高等数学(同等学力及跨学科加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 如图所示电缆
的长为S ，跨度为21，电缆的最低点0与杆顶连线AB 的距离为f ，则电缆
长可按下面公式计算。
图
当f 变化了△f 时，电缆长的变化约为多少? 【答案】 2． 设
【答案】
，而
都是可微函数，求
。
3． 利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。
【答案】由表中第3列，猜想1986年后任一年的世界人口是前一年人口的1 .018倍. 于是，在1986年后的第t 年，世界人口将是
20 10年对应f=24，于是
即推测2010年的世界人口约为76亿。
（百万）。
，
4． 自点标为（点
（，0，
；）
）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.
为点
关于xOz 面的垂线，垂足F 坐
，
，0）；
为
为点
关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为（
，
）
. ，0，0）；
为点
关于y 轴的垂线，垂
）
.
【答案】设空间直角坐标系如图所示，根据题意，关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为（0，为点
，0）；
为点
关于x 轴的垂线，垂足A 的坐标为（
足B 的坐标为 （0，关于z 轴的垂线，垂足C 的坐标为（0，0，
图
5． 在R 、L 、C 含源串联电路中，电动势为E 的电源对电容器C 充电，已知
，L=0.1H（亨），R=1000Ω，试求合上开关K 后的电流i （t ）及电压u c （t ）（微法）。
【答案】由回路定律知件，
故微分方程
为
解得
因
可令
是原方程的特解，代入方程，得
代入初始条件，
有
即
又
代入初始条件故
6． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面
有
及
所围立体的表面积。
上的那一部分的面积为即
已知
其对应的齐次方程的特征方程
为
即
即
且依题意，有初始条
故方程的通解为
【答案】如图所示，设第一卦限内的立体表面位于圆柱面
A ，则由对称性知全部表面的面积为16A 。
2
故全部表面积为16R 。
图
二、证明题
7． 已知
【答案】由向量的几何意义知
，求△OAB 的面积。
故
8． 试证曲面
【答案】设
上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。
，则曲面在点
在曲面上任取一点
，则曲面在点M 处的切平面方程为
处的一个法向量
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