2016年大连理工大学运载工程与力学学部数学之高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
令
，故
，
得
，
当
时
，
，
当
时
，
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
小值。
2． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。
（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;
（3）求物体关于z 轴的转动惯量.
【答案】（l ）如图所示，由的对称性可知
和平面z=0, │x │=a, │y │=a
图
（2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故
。
（3）
3． 设某工厂生产x 件产品的成本为
（l ）当生产100件产品时的边际成本;
（2）生产第101件产品的成本，并与（l ）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.
【答案】（1）
（
（元/件）。
2
，函数c （x ）称为成本函数，（元）
成本函数C （x ）的导数C ’（x ）在经济学中称为边际成本，试求:
）
即生产第101件产品的成本为79.9元，与（l ）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本C’（x ）的实际意义是近似表达产量达到x 单位时再增加一个单位产品所需的成本。
4． 在曲面，并写出这法线的方上求一点，使这点处的法线垂直于平面程。
【答案】
设所求点为面的法向量为（1, 3, 1）。
按题意，n 垂直于平面，故有
求得为
5． 曲线
在点（2, 4, 5）处的切线对于x 轴的倾角是多少？
（2, 4）就是曲线在点（2, 4, 5）处的切线
，于是倾角
.
。于是所求点为
，法线方程
，
曲面在该点处的一个法向量为
，平
【答案】设z=f（x ，y ）. 按偏导数的几何意义，对于x 轴的斜率，而
6． 计算下列曲面积分：
，即
，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面
，
的外侧；
，其中为半球面
，其中为球面
【答案】（1）将分成zOx 面上的投影区域均为
1和
2两片，
1为
；
其
中
为
锥
面
的上侧； 的外侧。 ，
2为
，1和2在