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一、计算题

1． 当是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积

与二重积分有什么关系:

恒

【答案】当为xOy 面内的一个闭区域时，的方程为z=0，因此在取值的为

且

。又在xOy 面上的投影区域即

为自身，因此有

2． 在什么条件下，（a , b ）内的连续函数f （x ）为一致连续？

【答案】若

均存在，设

易证F （x ）在

上连续，从而F （x ）在

上一致连续，也就有F （x ）在

内一

致连续，即f （x ）在（a , b ）内一致连续。

3． 求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积:

（1）D

是由曲线域;

（2）D 是由曲线

【答案】（l ）令与D 对应的

平面上的闭区域为

，则

。在这变换下，。

所围成的第一象限部分的闭区域.

所围成的第一象限部分的闭区

于是所求面积为

（2

）令

这变换下，与D 对应的

，

则

平面上的闭区域为

。在。又

于是所求面积为

4． 利用定积分的几何意义, 求下列积分:

【答案】（l ）根据定积分的几何意义,

表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直

, 故有

以及x

, 梯形的高为

,

角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为

（2）根据定积分的几何意义,

轴所围成的梯形的面积,

该梯形的两底长分别为因此面积为21。故有

（3）根据定积分的几何意义,

。

表示的是由直线

表示的是由直线

以及x 轴所和x 轴所围

围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为

由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此（4）根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有

5． 求旋转抛物面

【答案】联立

，得

在三坐标面上的投影. 表示的是由上半圆周

以及x 轴所围成的

. 故旋转抛物面在xOy 面上的投影为

如图所示

图

联立区域.

同理，联立围成的区域.

6． 求曲线

【答案】

相应于

的一段弧长。

得

. 故旋转抛物面在xOz 面上的投影为由

及z=4所

得

. 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为由

及z=4所围成的

二、证明题