2017年上海财经大学数学学院601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
在称为
上单调增加，但不必连续，
且的不动点).
二等分，
分点记为
否则取
取
若
取
即可.
若
.
当
时，
取
求证
：
使得
【答案】方法一用区间套定理.
将
当再将
时，
取
这样保证有即可.
若
使得
取
二等分，分点记
为
若
否则，取这样保证有可无限地
进行下去，得到一个闭区间列
如此继续下去，要么到某一步时，得到一分点即可；要么这种步骤
它满足如下性质：
由闭区间套定理，使得
又由的单调性，有
由此，利用即⑴由
(2
)
2．
设函数列
由⑴、(2) 知，
的单调递増性，可得
方法二用确界原理. 令
及的单调性知，
. 由f 的单调性，
而
显然
所以
故有上确界c. 易知 故
故
当然，
在[a，b]上可导，且存在M>0，使得对任意正整数n
和
成立. 证明：如果级数
在[a，b]上收敛，则必一致收敛.
有
【答案】取正整数m 充分大，将[a，b]m等分：
使得
因当令不妨设
收敛，存在正整動时有
对任意正整数p 都成立当n>N时，
于是
从而
在[a，b]上一致收敛.
3． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
因此
由一致连续定义，
在
4． 证明
：
【答案】令
其中
因为
所以函数
所以
上一致连续. 因为在
对任意
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
即当
上一致连续。
在即
上是凸函数.
因此
而
二、解答题
5． 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：
⑴(3
)
时，
(2)
因
故
从而
级数收敛.
(3) 注意到数列
单调递减且
故只需考察级数
的部分和数列
即级数
的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. 即
有界. 又
时，数列
单调递减且
由狄利克雷判别法知原
则
故f (x ) 单调且有界，因此数列
从而级数
又
故
关于n 单调有界. 又级数
时
，
【答案】(1)
记
收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛.
的部分和数列
(2)
；
6． 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：
【答案】(1) 设
对求偏导数，并令它们都等于0, 则令
解之得
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