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一、证明题

1． 证明：若级数

收敛

，又因为

即

绝对收敛，则级数

收敛，则其部分和数

列

收敛，从而

绝对收敛，由阿贝尔变换知

又由即

所以即

2． 设

收敛.

具有性质

【答案】(1) 由

得

即(2) 令

令

则有

3． 证明：若函数，在光滑曲线L

:

. 其中

为的弧长.

存在，且

又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以

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也收敛.

有界. 设存在正数M , 使

得

【答案】因为级

数

收敛可知收敛. 设

则

证明：

对

两边关于求偏导数得

上连续，则存在点

...

使得

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为

在上连续，由积分中

值定理知：使

令

4． 设f 为定义在

显然所以

上的连续函数，a 是任一实数，

证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点存在

的某邻域

故E 为开集. 下证F 是闭集.

设且

5． 设函数

在

上连续且恒大于零，按

当

定义，证明:时，有

在点当即可.

综上可知，

6． 证明:(1) 若函数

(2) 设(3) 令

为实函数. 证明:

连续的充要条件是

对任意固定的

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因为f

在连续，从而由连续函数的保号性知，

使当

时

即

从而

是F 的任一聚点，则存在F 的异点列在连续，从而

可见

使

故f 为闭集.

由

在[a, b]上连续.

f (x ) 在[a, b]上有最小

值

【答案】因

为在[a, b]上连续，所以

处连续.

) 时，

只需将上面在[a, b]上连续.

连续，则函数

也连续； 在

上连续，令函数f 的值

上连续；

等于三值

改为

(或

)

(

或

中介于其他二值之间的那个值. 证明:f 在

都是的连续函数.

【答案】(1) 因为

又因为函

数

也连续.

(2) 由题意知，

由(1) 的结论

得

在(3)

由连续函数的运算性质，即知它们都连续.

上连续，故由连续函数的运算性质知

在

，连续，并且已

知

上连续.

连续，所

以

也连续，由连续函数的运算性质

知

二、解答题

7． 变换比行列式

【答案】方法一把x , y 写成u ，v 的函数：

所以

逆变换的雅可比行列式为

y 或u ，v 时，方法二 若变换不易解出x ，我们只能用隐函数求偏导数方法来求雅可比行列式，一般来说所得行列式可以含有变量x , y ，u ，v 。方程组先对u 求偏导数，得

解出

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把区域变为区域试求雅可