2017年上海大学力学所611数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
在有限区间上有定义. 证明：
对
设
从而若
由
即
在上非一致连续，则
. 由
故
中相应的子列
在上一致连g
若
是中的柯西列，则
且
存在正整数
存在
虽然
，
因
当
时有
时有但
池是柯西列.
【答案】
在上一致连续，则
为柯西列
.
对
有界，因此
是中的柯西列，
则对上述的
中存在收敛子列
也收敛于相同的极限，
从而穿插之后序列亦收敛，即为柯西列，
但其像序列
恒有 2． 设
收敛. 证明
：
，不是柯西列，矛盾. 所以
收敛
在上一致连续.
【答案】因为所以
3． 设
求证：
收敛，由比较判别法知
由积分判别法知级数
收敛.
收敛，又收敛，
【答案】方法一：
联合
与当当即得
即得和
两种情况考虑
.
，
时，
方法二：分
时，
4． 证明函数
【答案】
因为幅
在
现设
于是有
限个间断点，故可积. 因此，存在
所以
上的不连续点是
使对
在在
上可积。 上有界，且在
任给
的任何分法，只要
是
的满足因此，
由于
的任何部分区间上的振
在就有
上只有有
令
的任意分割.
设
又显然有
所以
在上可积。
证明：
5． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1)
. (2
)
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
6． 若d][a, b]，使
是[a, b]上的连续函数列，且
在[c, d]上一致有界.
在任意闭区间
使
有使得
满足
且
由闭区间套定理，无界，则数列
存在
是A+B的一个上界.
使
得即
于是
，
并
且
使得c=a+b, 则设
于是
. 存
在
数列都有界. 试证明：存在闭区问[c，
上都非一致有界，即
由连续
使
有
且
【答案】用反证法. 假设
使
因为函数的保号性，
又因为
如此下去，可得一个闭区间列
在
由连续函数的保号性，
在[a, b]上非一致有界，所以对k=l,
使得
且
上非一致有界，所以对k=2，
有其中使
即数列
的某一个子列
无界. 这与已知条件矛盾.
二、解答题
7． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
到含的项；
到含的项.
【答案】
因此
带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
故
于是
故有
于是
8． 计算下述积分
：
【答案】记
则
其中D 是矩形区域
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