2017年青岛科技大学数理学院640数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
在集合上有界，求证：
【答案】由下确界定义有
移项即得
由下确界定义有
即得要证的第一式，又因为 2． 设
【答案】(1) 当A=0时，由
此即(2)
当
时，由于
令而
则
存在
当
时，有
，用
，
语言证明：
当
时，有
与
所处的地位是对称的，故第二式也成立.
3． 证明：(1)
(2
)
【答案】(1) 设间为
且y
可在
满足方程
满足方程
故
从而幂级数
内任意阶可导，所以
的收敛区
(2)
设故
具有任意阶导数，由
所以幂级数的收敛区间为
可得
且和函数y
在
所以又由得
4． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
因此
由一致连续定义，
在
上一致连续. 因为在
对任意
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
即当
上一致连续。
二、解答题
5． 已知
级数
发散，求证级数知，
级数
于是有
也发散.
均为正项级数.
【答案】反证法由假设级数
收敛，则
从而由正项级数的比较判别法知级数
6． 设a>0, 求曲线数为
收敛，这与题设矛盾，所以原命题成立.
上的点到xy 平面的最大与最小距离.
到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函
【答案】设P (x ，y , z) 为曲线上任一点，易知
对L 求偏导并令它们都等于0得
解之得
»
或因此
与
是
的稳定点，且所求的条件上存在最大值与最小值，
因此
极值点在其中取得. 由于d=z
在有界闭集
时
与
:时
就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.
。其线密度
(a 为常数) ，求
7． 设有一质量分布不均匀的半圆弧它对原点
(0，0) 处质量为m 的质点的引力.
【答案】设引力系数为k ，则对任一点(x , y) ，有
故