2017年青岛科技大学数理学院640数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设级数
收敛，证明
也收敛.
【答案】因为
I
又
及
收敛，故在
在
上可积，
上可积，故任给
收敛，所以由比较原则得
则存在对
在
：收敛. 上也可积。 的某分割T , 使得
在
2． 证明：若
【答案】已知
T 上增加两个分点
得到一个新的分割则由上题结论知
分割
在上的部分，构成的一个分割，记为则有
故由可积准则知，
3． 设
在点
在上可积。
可微，则有
的某邻域内存在且在点
【答案】应用中值定理有
由在处可微知
所以. 同理由在处可微得
从而
4． 证明:
【答案】(1) 由的递减性，有
即
从而有
依次相加得
由左边不等式，得
由右边不等式，得
综合两式有
(2) 由(1) 有
而
于是由迫敛性定理有
二、解答题
5． 若
【答案】由
计算
知
6． 已知反常积分
【答案】注意到
收敛，证明含参变量反常积分1]上一致收敛. 在[0，
因为反常积分另外
对于固定的
在
由阿贝尔判别法知，
7． 考察函数
收敛且与y 无关，所以
都单调，且在上一致收敛.
在[0, 1]上关于y —致收敛. 时，满足
即一致有界. 从而
在点(0, 0) 处的可微性. 【答案】由偏导数定义知，
同理可得
由于
所以f 在点(0, 0) 处可微.
8． 用极坐标计算下列二重积分
【答案】⑴
(2) 应用极坐标变换后积分区域
从而
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