2017年青岛科技大学数理学院640数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 若函数u=u(x ，y ) 满足拉普拉斯方程满足这个方程.
【答案】设而由
及
注意到
则有
即v 也满足拉普拉斯方程.
2． 设
为
内的递增函数. 证明:
与
【答案】
即
对
在在时有
上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：
为常数，试证明f 在G 上处处连续.
对固定
的
连续，于是对任
给
存
在
时，有
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证明：函数也
则
都存在，且
内单调递增，
取
内有上界，从而有上确界，记
使
得
故
对
取
由
知
则
当
由上确界定义
知
类似可证
3． 设f (x ，y ) 在区域
其中
【答案】任
取
又由，f 对y 满足利普希茨条件，对上述
现取
则当
取时，
所以
在点
在
处连续，由点
上连续，且
知对
总
有
时，有
其次，由
在
综上，
取
与即
在
事件至少一个发生. 于是，总
有
上一致连续. 对
当
时
，
上连续，知
存在
当
在
上连续且一致连续.
时，
有
于是，对上述
的
的任意性知
在G 内处处连续. 其中b 为非零常数，则f (x ) 在存在正数
于是，
对
当
4． 证明：若函数上一致连续.
【答案】首先，由
使
得
. 则当
时，有
二、解答题
5． 设
【答案】方法一作变量代换
则
方法二因为
所以
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6． 计算曲线积分
其中L 是曲线
从z 轴的正向往负向看去L 的方向是顺时针方向. 【答案】方法一(用参数方程求解) 令故
方法二：(用斯托克斯公式求解) 设S 为平面x-y+z=2上以L 为边界的有限部分，其法向量与z 轴正向的夹角为钝角. 则
由斯托克斯公式可得
其中
7． 将定义在设
（1）（2）
’
上的函数，延拓到R 上，使延拓后的函数为（i ）奇函数；（ii ）偶函数. 为S 在xy 平面的投影域，即
记
则
【答案】设f , g 分别为奇函数和偶函数，则（1）将f （X ）分别作奇延拓和偶延拓，得到
（2）设
为f （x ）在R 上的奇延拓，则当
时，
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于是