2017年辽宁师范大学计算机应用研究所603高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
即溶器外壳的体积大约是
55.3
2． 求下列函数的二阶导数：
【
答
案
】
（
1
（2）
3．
设均匀柱体密度为
，占有闭区域
，求它对于位于点
）
.
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
M 0（0, 0, a ）（a>b）处的单位质量的质点的引力。
【答案】由柱体的对称性和质量分布的均匀性知F x =Fy =0，引力沿z 轴的分量
4． 设f （x ）在R 上连续，且
（l ）（2）（3）（4）
【答案】（l ）错。例如（2）错。例如（3）对。例如
，同（2）
在R 上处处连续，则
在R 上处处连续。
在R 上处处连续。
在R 上处处连续。
也在R 上处处连续，
必有间断点 必有间断点; 未必有间断点 必有间断点.
在R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中，哪
些是对的， 哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
（4）对。因为，若
这与己知条件矛盾。
5． 已知f （x ）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系
式
，且f （x ）在x=1处可导，求曲线y=f（x ）在点（6, f （6））
处的切线方程。
【答案】由f （x ）连续，令关系式两端x →0，取极限得又而
故由于
于是
，即（6, 0）处的切线方程为因此，曲线y=f（x ）在点（6, f （6））
即
6． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
，边界为
.
（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
7．
设
。
【答案】
具有连续偏导数，
而
，
求
，边界为
.
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为
;
. . ，
边界为
; ;
8． 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】（l ）所给二次积分等于二重积
分
，其中