2017年辽宁师范大学计算机应用研究所603高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知平面区域
【答案】
, 则
，计算二重积分
因为区间[
]关于原点对称，上式中关于的被积函数为偶函数，所以
因为
所以
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2． 设有质量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动（如图所示）
。设摩擦系数
, 问力F 与水平线为多少时, 才可使力F 的大小为最小。 【答案】如图所示, 力F 的大小用
表示, 则由
设令又
的最大值点, 这时, 即, 得驻点
,
所以驻点
为极大值点, 又驻点惟一,
因此
时, 力F 的大小为最小。
为函数
, 则
知
图
3． 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数
?
【答案】（1）为偶数。 （2
）
，因
为
，所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。
（3）（4）（5）
因为
，因为
，所以f （x ）为奇函数。
，因为
且
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，因为 ，所以f （x ）
且
所以f （x ）为偶函数。
所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。 （6）
，因为
，所以f （x ）为偶函数。
4． 设有一半径为R 、中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数μ。在圆心处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图建立坐标系，则相应小区间[θ，θ+dθ]的弧长为直方向引力分量为0，水平方向的引力分量为
故所求引力大小为
，方向为M 指向圆弧的中心。
，根据对称性可知所求的铅
图
5． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由
解得
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