2017年西北师范大学地理与环境科学学院601数学(理)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求方程
的近似根, 使误差不超过0.01。
在[l, 3]上连续, 且,
使
, 即方程
,
在区间（1, 3）内至少有一
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点实根。又方程
, 即
在（l , 3）内有惟一的实根。
在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:
, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而
故误差不超过0.01的根的近似值为
2． 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）解法一：后的级数
解法二：因（2）
也发散，由比较审敛法知原级数
而
由于级数发散。
发散，故各项乘
发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
而
发散，由比较审敛法知原级数发散。
（3）因而收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
（4）因
收敛。
（5）
当
而
时
，
而收敛，故由极限形式的比较审敛法知原级数
，一般项不趋于零，
故
收敛。 处，有一与成角
的力
成角
发散，当a>1时
，
收敛，故由比较审敛法知
的点
3． 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为O 的另一侧与点O 的距离为
，
的点
的力作用着；在
处，有一与作用着. 问，，，
，
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
图
【答案】如图所示，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
即
4． 讨论函数
【答案】因为
故f （x ）在x=0处连续。
不存在，故f （x ）在x=0处不可导。
5． 设Z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x 1，y l ，z 1）沿直线移到（x 2，y 2，z 2）时重力所作的功。
，质点移动的直线路径L 的方程为 【答案】重力F=（0，0，mg ）
，在x=0处的连续性和可导性。
于是
6． 计算半立方抛物线
被抛物线
截得的一段弧的长度。
【答案】联立两个方程得到两条曲线的交点为和，由于曲线关于
x 轴对称，因此所求弧段长为第一象限部分的2倍，第一象限部分弧段为
，故所求弧的长度为
7． 求点M （4，﹣3，5）到各坐标轴的距离.
【答案】点M 到x 轴的距
离
，点M 到z 轴的距离
8． 求下列微分方程的通解：
，
，点M 到y 轴的距
离
说明：求解线性微分方程组一般采用“消去法”。
1°从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含一个未知函数的线性微分方程，然后求出该线性微分方程的通解，本题的（l ）（2）（3）题采用这种方法来解; 对于学过“线性代数”
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