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一、证明题

1． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

2． 设总体

【答案】令

则

对上式求导易知，当

3． 设数为

是来自均匀分布

其中

（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

时上式达到最小，最小值为

它小于的均方误差

是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

4． 如果

【答案】记因为令而

由M 的定义即可知当

_时, 有

因而

5． 设

是来自

, 由的任意性知的样本,

结论得证. 是来自

的样本, 两总体独立.c , d , 所以有

而对于

, 试证:

与X 的分布函数分别为

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

和时, 有

使当

, 时, 有

. 对任给的

取足够大的

和

使

是F （x ）的连续点, 且

是任意两个不为0的常数, 证明

其中

【答案】由条件有

, 与分别是两个样本方差.

且

相互独立, 故

于是

6． 设0

【答案】由条件

7． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：

【答案】

8． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

得

试证：A 与B 独立.

再由上题即得结论.