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一、证明题

1． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明

：

【答案】由又因为所以得

2． 设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

所以

收敛的方法知结论成立.

3． 设总体

【答案】由于总体均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

4． 如果

【答案】记

而

正是

的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

可

得

进一步由

, 证明:当

时, 随机变量

按分布收敛于标准正态变

得

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

, 试证:

与X 的分布函数分别为

和

. 对任给的

取足够大的

和

使

是F （x ）的连续点, 且因为令而

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

时, 有

使当

, 时, 有

由M 的定义即可知当

_时, 有

因而 5． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明, 由的任意性知

结论得证.

, 所以有而对于

是充分统计量.

有

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

6． 设明:统计量

（1）若函数

也存在. 于是其中（2）若（0,

, 当

则

时,

）上取值, 所以当

是充分统计量.

是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证

服从

这是因为F （x ）的反

当

时, 有

【答案】分几步进行:

且F （x ）为连续严增函数, 则

的分布函数为

所以

仅在

（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故

这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知

7． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

8． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

即有

, 结论得证. 必存在某个i , 使得

由（2）式知,

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

再令

当

时,

有

,

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

在

上一致收

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

的相互独立性可导致

分布函数, 即

（2）. 相互独立, 由（1）

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

二、计算题