2017年哈尔滨工业大学理学院432统计学[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
2． 设
又
由
知
都服从区间（0，1）
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证. 是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
3． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
4． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
由此得
5． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即
场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
6． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
利用此结果计
存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
, 它仍是随机变量. 在
也是常数, 故有
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
7． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为
所以
8． 证明
：
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
则
二、计算题