2017年合肥工业大学数学学院808高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的.
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
所以A 的特征值为3，3，0；而
）交于一点的充要条件是（ ）
.
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由线性表出.
4． 齐次线性方程组
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
使AB=0, 则（ ）
.
当C.
时，由AB=0，左乘可得矛盾，从而否定A ，故选
5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
二、分析计算题
6． 设A ，B 是数域F 上的两个n 阶方阵，F 是数域K 的子域. 证明：A , B 在F 上相似在K 上相似.
【答案】若A , B在F 上相似，当然在K 上相似. 反之，设A ，B 在K 上相似，即存在K 上可逆方阵
C
令
即V 为由一切生成的F 上的线性空间. 设为
则
再由（1）, （4）得故
又因为. 故即
从而存在F 中数
是关于
使
为F I.可逆方阵. 于是由（5）得
即A , B在F 上也相似.
的一个n 元多项式，而
为F 上n 阶方阵. 由（2）, （3）得
但
在F 上线性无关，
为V 在F 上的一基，从而K 中元素
，设都可由此基线性表示（系数属于F ）
A , B