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一、证明题

1． 试用定义

(1) 数列(2) 数列收敛于极限a. (1) 取

，则

知，

当n>l时

，

不以1为极限. 因此，数列

发散.

则

于是原不等式左边变为

(应用了赫尔德不等式

)

3． 设

【答案】由

利用已知的关系式

可得

注意到

由上式得

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证明： 不以1为极限； 发散.

任给

若在

之外数列

丨中的项至多只有有限个，

则称数列于是，数列

中有无穷多个项落在

则

【答案】定义

之外. 由定义(2) 当n 为偶数时

是无界的. 设a 是任意一个实数，取

之外，否则

有界. 故数列

于是，数列

不收敛于任何一个数，即数列

2． 试证明

【答案】令

中有无穷多个项落在

证明:

易见 4． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

即

亦即

则由

可知，

是

上

由命题知，

存在. 在已知的关系式两边取极限可知

二、解答题

5． 设

在

上连续可导，且

求证：

【答案】设显然

满足

满足（2）式. 于是

所以

6． 求函数

【答案】首先有

令

得稳定点

又

在

即（1）式成立。

内的极值.

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从而

因为

故

7．

计算三重积分与累次积分

【答案】(1) 由于被积函数为

因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分，又由

从而

(2) 应用柱坐标变换

8． 设周期为2π的可积函数

试问的傅里叶系数【答案】

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为负定矩阵，所以f 在内点

其中V

由

处取得极大值1.

所确定

；

区域V 用平行于xy 平面的平面截得的是一个圆面，即

满足以下关系式：

的傅里叶系数

有什么关系？