2018年哈尔滨医科大学公共卫生学院611数学综合之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
2． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
3． 总体
（1）证明
，其中
是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
，且的UMVUE ,
，则
是
时都为0, 等式得证.
的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
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（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
，从而
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
证明:当
时，随机变量
则由X 的特征函
数
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
的方法知结论成立.
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
按分布收敛于标准正态
可
得
4． 设随机变量变量.
【答案】
令
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5． 设随机变量且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
6． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
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所以
因为X 与Y 相互独立，
由此得
，证明:
；
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