● 摘要
粗糙集理论是由波兰数学家Pawlak于1982年首次提出的, 它是信息系统中一种新型的处理不确定性知识的数学工具. 粗糙集理论在人工智能、机器学习、模式识别等方面具有重要作用. 随着粗糙集理论的发展, 诸多学者在粗糙集理论和多个代数系统间尽可能地建立联系. 受Pawlak粗糙集代数结构和粗糙集代数性质的研究启发, 学者们将粗糙集理论应用到多种代数结构中, 这不仅丰富了粗糙集理论的研究内容, 更为纯代数的研究开拓了新的思路. 本文将粗糙集理论应用到序半群中, 引入序半群中的粗糙(素、半素、准素)理想和粗糙模糊(素、半素、准素)理想的概念, 并对其性质进行了研究. 本文主要内容安排如下：
第一章: 预备知识. 介绍了序半群、粗糙集、格论、模糊集理论中的基本概念和相关知识.
第二章: 序半群中的粗糙理想. 首先, 阐述了序半群中的完备同余关系、上近似和下近似的定义, 并讨论其相关性质. 其次, 介绍了序半群中的(上、下)粗糙(素、半素、准素)理想(乘法集、 m-系)的定义; 分析了(素、半素、准素)理想、乘法集、 m-系与其之间的关系; 得到了在一定条件下, (素、半素、准素)理想一定是(上、下)粗糙(素、半素、准素)理想; 证明了对含最小元的序半群, 若任一元素的等价类是有限的, 则下粗糙理想之集关于包含序构成一个代数格. 最后, 讨论了序半群中粗糙(素、半素、准素)理想在序半群同态作用下像与原像的相关性质.
第三章: 序半群中的粗糙模糊理想. 首先, 阐述了序半群中模糊子集上(下)近似的定义, 讨论了它们的若干性质. 其次, 介绍了序半群中(上、下)粗糙模糊子序半群(理想、 素理想、半素理想、准素理想)的概念, 并分别分析了模糊子序半群(理想、素理想、半素理想、准素理想)与其之间的关系. 最后, 证明了模糊子序半群(理想、素理想、半素理想、准素理想)是 (上、下)粗糙模糊子序半群(理想、素理想、半素理想、准素理想); 模糊子序半群的有限交(乘)是 (上、下)粗糙模糊子序半群; 模糊(半素)理想的有限交(并、乘)是 (上、下)粗糙模糊(半素)理想.