2017年西华师范大学综合数学之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y , 则y ）（x ，的可能取值形成如下单位正方形
其区域为图中的阴影部分
.
其面积为
而事件A“两数之和小于7/5”
可表示为
图
所以由几何方法得
2． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15个男子，（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm ，过了一个月再测量厚度，得到数据如下：
表
问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设..
来自正态总体，结论是什么？
（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？
【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值，则需检验的假设为
由于
的P 值为
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此处15个差值为
故可算出检验统计量值为
于是检验
p 值小于0.05，在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5，故符号秩和检验统计量为，这是一个单边假设检验，
检验拒绝域为
号在使用中是完全等价的）
下，查表13可知
A 制成的后跟比材料B 的耐穿，二者结果一致。
3． 设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到取何值，方能使
【答案】若要使
成为的无偏估计，且方差达到最小？
为的无偏估计，即
则必须有
此时，
因此，问题转化为在令
的条件下，求
由
得到
从①中可以得到
代入②中，解出
从而
4． 掷一颗骰子100次, 记第i 次掷出的点数为求概率
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为0.9966, 很接近于1.
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（正号和负
在给定
观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料
（i=l，2, …，k ）. 用这
应
，设仪器都没有系统误差. 问
的极小值.
点数之平均为试
【答案】由题意可得
5． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值
（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处
，的
置信区间为
查表知
，样本标准差s=0.22.
（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；
从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得
置信区间为
，因而的置信水平为0.99的置信区间为
6． 设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为
已知事件
独立，且
求常数a.
，从而
【答案】由同分布可得P （A ）=P（B ）
由此解得P （A ）=0.5，进而由
解得
7． 掷一颗骰子60次，结果如：
表
试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为的假设为知，
检验的统计量为
由于
未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均
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则要检验
则查表
这里k=6，
检验拒绝域为若取