2017年西南大学概率论考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设伽玛分布，即
【答案】
是来自如下总体的一个样本
，求的后验期望估计. 与的联合分布为
于是的后验分布为
若取的先验分布为
这是一个伽玛分布因而的后验期望估计为
2． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.
【答案】设事件且
所以由全概率公式得
得递推公式
将
代入上式可得
由此得
为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记
则有
3． 假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为
诸观测值相互独立.
（1）写出的最小二乘估计，和（2）对给定的
【答案】（1）由最小乘法原理，令
的无偏估计；
求
则正规方程为
其对应的因变量均值的估计为
从中解得届的最小二乘估计为不难看出
于是，由
有
将
写成
的线性组合，利用
间的独立性，有
由此即有
从而
这给出
的无偏估计为
于是
4． 设总体密度函数为
（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计.
（2）对给定的对应的因变量均值的估计为
是其样本.
【答案】（1）似然函数为对数似然函数为
将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程
解之得
（2）令Y=-InX, 则
，从而有因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ）
于是
为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx ,
于是
而
于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界
为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以
的有效估计.
5． 设随机变量X , Y 独立同分布, 在以下情况下求随机变量
（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布• （2）X 服从几何分布, 即
【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1, 所以1, 因此
（2）因为X 服从几何分布, 所以由此得
的可能取值也为0或
从
而是g （θ）
的分布列.
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