2017年西华师范大学综合数学之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位：m/s）如下：
据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设分别为
在显著性水平为下，检验的拒绝域为著降低.
关于本题说明一点：本题中的一对假
设
由于使用该拒绝域的检验的势函数为
是的减函数，因而要求
与要求
等价，从而两个检验问题的拒绝域完全一
致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.
2． 假设只考虑天气的两种情况：有雨或元雨. 若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1-p. 设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率.
【答案】设事件
为“第i 天无雨”，记_1
所以由全概率公式得
得递推公式
所以
将由此得
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（单位：m/s）. 经过较长时间储存，取9发进
）？
待检验的原假设矾和备择假设
【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体
若取查表知
经计算得
此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判断这批枪弹的初速有显
的检验与另一对
假设
的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，
都形如
则有且
代入上式可得
3． 设随机变量X 的概率密度函数为
对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为
所以
4． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）：
表
设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值，
试检验
【答案】以x , y 分别表示老、新两种过程下的观测值，其样本方差，则中
的无偏估计为
在原假设
为两个总体的共同方差，
又
检验拒绝域为
现取
现由样本观测值可算得
从而检验统计量的值为于2.
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的数学期望.
表示，从而
表示分别为
其
分别为其样本均值，成立下有
故在原假设成立
下
查表知，从而拒绝域为
由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大
5． 在遗传学研宄中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为
若已知m=2
,
是样本，试求p 的最大似然估计.
的样本中有个为1,
有
【答案】当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2, 不妨设个为2，则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然方程
解之得
后一个等式是由于
所以
代入上式即得.
6． 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b ，c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率.
【答案】任意投掷此三角形，该三角形与平行线相交有以下三种情况：三角形的一个顶点在平行线上、一条边与平行线重合、两条边与平行线相交，由确定概率的几何方法知：前两种情况出现的概率为零，所以只要去确定两条边与平行线相交的概率，为此记ab ，ac ，be 与平行线相交的概率，则所求概率为
为求知
因为三角形的边a 与平行线相交意味着：ab 与平行线相交，或ac 与平行线相交；b 与平行线相交意味着：ab 与平行线相交，或be 与平行线相交；c 与平行线相交意味着：ac 与平行线相交，或be 与平行线相交，所以有
至
此
我
们
得
，
三
角
形
与
7． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.
【答案】解法一:分别记此n
个点
（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求
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分别为两条边
由蒲丰投针问题，只要将两条边与平行线相交的问题转化为每条边与平行线
分别为三条边a ，b ，c 与平行线相交的概率，则由蒲丰投针问题
相交的问题，为此又记
平
行
线
相
交
的
概
率
为
则相互独立, 且都服从区间