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一、计算题

1． 掷一颗骰子两次，以x ，y 分别表示先后掷出的点数，记

【答案】

所以

2． 根据调查, 某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位:千元）:

试画出茎叶图.

【答案】取整数部分为茎, 小数部分为叶, 这组数据的茎叶图如下:

求

图

3． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：

（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则

（1）（2）

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中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数

中有返回地任取三个，所有可能为

这是分若记Y

母，而“最大点数小于等于5”，相当于从

4． 在（0，1）上任取一点记为X ，试求

【答案】

由

解得

是开口向上的，故有

因为

又因为二次函数

所以

5． 设随机变量X 的密度函数为件{X≤1/2}出现的次数，试求P （Y=2）.

【答案】因为Y 〜b （3，P ），其中

6． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义

显然

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩；

（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。

所以

以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事

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所以泊松分布是正偏分布，愈小偏度愈大

.

所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖峭.

7．

设

是来自韦布尔分布

,

的样本（m>0已知）, 试

给出一个充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

若

令理,

是

,

取

的充分统计量.

,

, 由因子分解定

8． 口袋中有1个白球、1个黑球. 从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率：

（1）取到第n 次，试验没有结束； （2）取到第n 次，试验恰好结束.

【答案】记事件为“第i 次取到黑球”，i=l，2，…. （1）所求概率为

用乘法公式得

（2）所求概率为

用乘法公式得

二、证明题

9． 设0

【答案】由条件

10．设

（1）（2）（3）

得

试证：A 与B 独立.

再由上题即得结论.

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

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