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一、计算题

1． 口袋中有1个白球、1个黑球. 从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率：

（1）取到第n 次，试验没有结束； （2）取到第n 次，试验恰好结束.

【答案】记事件为“第i 次取到黑球”，i=l，2，…. （1）所求概率为

用乘法公式得

（2）所求概率为

用乘法公式得

2． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为

（I

）求

Y

的概率密度为

（II ）求X 的概率密度f （z ）. 【答案】（I ）

，则其值为非零时z 的取值区间为[-1, 2]. （II ）设z 的分布函数为F （z ）当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；

当

时，

所以z 的分布密度函数为

3． 设

是来自正态总体的一个样本，对考虑如下三个估计

（1）哪一个是的无偏估计？

故有

从而

（2）哪一个均方误差最小？ 【答案】（1）由于

这说明仅有的无偏估计，而的有偏估计.

（2）我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即

而

这给出

于是

显然

4． 设随机变量

【答案】（1）（2）

（3）因为

而有（c-3）/2=0.由此得c=3.

5． 设试求1-X 的分布.

【答案】X 的密度函数为

因为

在（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为

：

所以Y=1-X的密度函数为

所以

（1）求

的均方误差最小. （2）求

（3）确定c

使得

所以由题设条件进

且有

这表明：当

时，1-X 与X 同分布.

6． 设连续随机变量X 的分布函数为

试求

（1）系数A ；

（2）X 落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3）X 的密度函数.

【答案】（1）由F （x ）的连续性，有（2）

（3）X 的密度函数（如图）为

由此解得A=l.

图

7． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.

【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×4!种可能放法，这是分子，于是所求概率为

8． 设

是来自

的样本,

试求常数c 使得

的自由度.

【答案】由条件

:

立, 因而

, 故

且

相互独

服从t 分布, 并指出分布