2017年暨南大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1．
设
是来自
的样本, 试给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
,
取
, 由因子分解定理
,
的几何平均
为的充分统计量. 另
或其对数
都是的充
外, T 的一一变换得到的统计量,
如
分统计量.
2． 设
试求1-X 的分布.
【答案】X 的密度函数为
因为
在（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为
：
所以Y=1-X的密度函数为
这表明：当
时，1-X 与X 同分布.
且有
3． 假定X 是连续随机变量，x 是对X 的（一次）观测值. 关于总体密度函数f （x ）有如下两个假设：
检验的判断规则是：若
则拒绝原假设
试求检验犯两类错误的概率.
犯第二类错误的概率为
这个检验犯两类错误的概率都不小，不是一个好的检验，主要原因是样本量太小.
4． n 个男孩，m 个女孩
随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率.
【答案】由所给条件，犯第一类错误的概率为
【答案】将n 个男孩看成是n 个“0”，m 个女孩看成是m 个“1”，而“任意两个女孩都不相邻”
则相当于“没有两个1连在一起”，于是在时，所求概率为
譬如，
5． 设总体
等.
现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为
试对参数给出矩估计. 【答案】由于
即
而样本均值
故的矩估计
为
6 在垫片的耐磨试验中，，．关于磨损率有四个样本它们的样本方差与其自由度分别为
现要对“四个总体方差彼此相等”的假设作出判断.
【答案】由于四个样本量不全相等，其中有一个样本量小于5，故选用修正的Bartlett 检验进行方差齐性检验. 为此先计算一些中间结果，它们是
由此算得修正的Bartlett 检验统计量
对给定的显著性水平
查表得
由于
故不
与样本量误差均方和
拒绝原假设，可认为四个总体方差彼此相等.
7． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布发现有126个疵点，在
显著性水平为0.05下能否认为该种布每平方分米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值.
，需要检验的假设为
【答案】以X 记每平方米上的疵点数，则可认为; f-PU ） 由于n=100, 故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是因而，检验的统计量为若取由于u 在
则
检验的拒绝域为
这里u=2.6落入拒绝域，故拒绝原
而
假设，认为该种布每平方米上的平均疵点数不超过1个的结论不成立.
成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
8． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求X 与Y 的协方差及相关系数. 【答案】先求X 与Y 的期望与方差
所以
又因为
所以X 与Y 的协方差及相关系数为
二、证明题
9． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
【答案】（反证法）假设
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即
没有无偏估计.