当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即

假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为L （M ; x ）=P（X=x）. 考察似然比

要使似然比化简此式可得是M 的增函数，即

类似地，要使似然比这表明，当

为整数且

必导致

时，似然函数L （M , x ）是M 的减函数，即

比较（*）式和（**）式可知，当为整数时，M 的最大似然估计为M 的最大似然估计为不为整数时，

综合上述，M 的最大似然估计为

譬如，在N=19, n=5，x=2场合，

M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，几个

表

1

可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计

实际计算如下表

第 2 页，共 17 页

必导致

这表明：当

为整数和

时，似然函数L （M , x ）

而当

其中[a]为不超过a 的最大整数.

由于为整数，故

如下表1所示：

（不为整数），

表

2

可见M 取6可使似然函数达到最大.

2． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程

【答案】方程

有实根的充要条件是

而K 〜U （l ，6），因此所求概率为

3． 将一枚硬币重复掷n 次, 以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 试求X 和Y 的协方差及相关系数.

【答案】因为

这表明:X 与Y 间是完全负相关. 这个结论早就蕴含在线性关系式X+Y=n之中.

4． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）:

1050，1100，1130，1040，1250，1300, 1200，1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计. 【答案】样本均值样本标准差

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562.

5． 掷一颗骰子60次，结果如：

表

试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为

第 3 页，共 17 页

有实根的概率.

且所以

则要检验

的假设为知，

这里k=6，

检验拒绝域为

检验的统计量为

若取则查表

由于

未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均

匀的. 此处检验的p 值为

6． 为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）:

12月：6月：=0.05）?

【答案】设冬、夏两季新生女婴的体重分别服从

因而，考虑检验统计量

所以不拒绝原假设，不能认为女婴体重的方差是“冬季的比夏季小

7． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

而当

8． 设随机向量（

时，有P （AB ）达到最小值0.4. ）满足条件

其中

【答案】对等式

均为常数, 求相关系数

的两边求方差得

第 4 页，共 17 页

假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取（α

考虑检验问题：

所以当P （AB ）=P（A ）

所以有

由此解得