2017年湖南大学数学与计量经济学院813高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
是秩为r 的n 阶实对称方阵. 证明：存在特殊实上三角形方阵P 使
的充要条件是
式
，
【答案】设（4）成立. 由上题知：由此得反之，设
论显然；故设
。并令
且
有相同的顺序主子式，即
下证（4）成立.
为顺序主子
对n 用归纳法. 当n=l时显然. 假定对n-1成立，下证对忍成立：若则r=0即A=0，结
则有
其中B 为n-1阶对称方阵. 由上题知，A 与
有相同的顺序主子式，故
其中
是B 的k-1阶顺序主子式. 当
得
时
从而
当k>r时，
使
于是由归纳假设，存在n-1阶特殊上三角形方阵
易知是特殊上三角形矩阵且令得
2． 设n 维欧氏空间的两个线性变换
都有【答案】由题设
在V
的基下的矩阵分别是A 和B ，证明
：
则存在正定矩阵P ，使
任给令
则
同理
令基的度量矩阵为P ，则
同理掘故
考虑
的任意性，并结合
与
均为对称矩阵知
3． 设A 是定矩阵.
实矩阵，E 为n 阶单位阵. 已知矩阵试证明：时，矩阵B 为正
【答案】因为A 为实矩阵，且
所以B 为n 阶实对称矩阵. 又对
所以
因而B 为正定矩阵.
（2）在没有给出抽象矩阵所满足的关系式时，要说明其正定常考虑使用定义（本题中，
没有满足的关系式，只是一个记号）.
4． 设A 为方阵，I 为单位矩阵，且
（1）证明A-2I 可逆.
（2）求满足下列方程的方阵
X.
【答案】（1）证明由（2）由题设得
又由
得A 的特征根A 满足
所以5不是的特征根，从而A-5I 可逆.
5． 计算
所以A-2I 可逆.
其中互不相同.
【答案】
显见，x 分别取又由定义知
时，有两两互素，所以有
由根与系数的关系知
是一个关于x 的首项系数为1的n 次多项式，故
相关内容
相关标签