2017年湖南大学数学与计量经济学院813高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 构造一个3阶实对称阵A , 使其特征值为1, 1，-1，并且对应特征值1
有特征向量
【答案】设属于特征值-1的特征向量为因为A 是实对称阵，所以必与已知两个特征向量正交，此即
由此可解得对应于特征值-1的特征向量为
将这些特征向量正交化得
再单位化得
令则
故
2． 证明：
存在左逆阵（右逆阵）的充要条件是A 的列（行）满秩，且在A 存在左逆阵时，
A 左（右）逆阵唯一的充要条件是A 的行（列）也满秩，即A 可逆.
【答案】以左逆阵为例. （1
）
证法1 A 的列满秩，
则则BA=E.故A 存在左逆阵.
证法2 A 列满秩，则存在m 阶可逆阵P ，使
存在左逆矩阵
即
则
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的列数，
所以非奇异.
取则有BA=E。
.
所以r （A ）=k，即A 列满秩. （2）唯一性
已知r （A ）=n，所以又A 存在左逆阵时有
故后=n，即A 为n 阶可逆阵.
所以A 的左逆（即逆矩阵）唯一
.
设A 左逆唯一，由（1）得A 列满秩， 所以
若k ，因为 这里为n 阶单位矩阵E 的第i 列（i=l，2，…，n ） 所以式（*）有解，且解不唯一，这样矩阵方程即 解不唯一（与A 的左逆阵唯一矛盾）. 所以k=n，即A 的行向量组也线性无关. 解不唯一， 3． 设 试讨论p ，l 取什么值时，方程组有解或无解，并在有解时，求其全部解。 【答案】 （1）当t ≠-2时，原方程组无解。 （2）当t=-2时， （i ）当p= -8时，原方程组有无穷多个解，其通解为 第 3 页，共 32 页 其中k 1, k 2为任意常数。 （ii ）当p ≠ -8时，原方程组也有无穷个解，其通解为 4． 设V 是数域P 上3维线性空间，线性变换 在V 的基 下矩阵为 问，可否在V 的某组基下矩阵为 为什么？ 【答案】设A 的特征矩阵为 I 的特征矩阵为 则 所以A 的不变因子为 所以8的行列式因子为 故 与 有不同的不变因子，从而不等价，即A 与B 不相似，因此，在任一组基 下的矩阵都不可能为 5． 构造一个3阶实对称阵A ，使其特征值为 【答案】设属于特征值-1的特征向量为 第 4 页，共 32 页 并且对应特征值1 有特征向量 因为A 是实对称阵，所以必与已知两