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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内二阶可导, 证明:

, 使

【答案】记

, 则过三点

的抛物线为

令而

又

由

2． 证明:点列时

,

故从而

同理

充分性 设因此

故点列

收敛于

3． 设函数f 在（a , b）内可导, 且单调. 证明在（a , b ）上连续.

【答案】

设在

内递增且以

在（a , b ）内递增.

设

, 则

在某个

内递增且以和。

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知, 极限

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, 则F （a ）=F（c ）=f（6）=0, 故存在使

立即可得出结论.

收敛于

即

的充要条件是收敛

于

和侧对任给

的

存在N , 当n>N

【答案】必要性 设点

列

则对任给

存在N , 当n>N时,

都存在. 再由导数

极限定理知,

因为f （x ）在x 0可导,

所以知, 4． 设

在（a , b ）内连续

证明

所以对任意

的

存

在

使得

当

.

于是

, 由x 0的任意性

【答案】因

为时,

取

则当

时,

于是

即.

二、解答题

5． 设

【答案】令:由

两边求导有

6． 设f （x

）在

上有界

,

存在, 且

. 求证:b=0.

; 另一方面, 由f （x ）有界,

知

求则

【答案】一方面, 由洛必达法则,

.

,

从而b=0.

7． 计算积分

【答案】设

的值, 并证明它也等于数项级数

则

的和.

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为证明

定理

:设

先来证明一个定理: 在

内收敛,

若

也收敛, 则

事实上,

在

上收敛, 从而内闭一致收敛, 对于任何

都有

即有幂级数

在上收敛, 而

上收敛, 而

也收敛.

从而在

上一

致收敛, 和函数在x=R处左连续, 便有

回到题目, 数项级数

收敛, 设

8． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积.

由上述定理即知

图

【答案】椭圆柱面的方程为

. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形

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