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一、证明题

1． 证明:若二元函数f 在点上连续.

【答案】由内成立, 由于

其中

2． 设a , b , A是均不为零的有限数, 证明

【答案】因为

当

时

先证必要性. 由所以

（当

且

再证充分性. 因为

故

因此有

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的某邻域U （P ）内的偏导函数与有界, 则f 在U （P ）

存在M>0, 使

在

1

在U （P ）内有界, 设此邻域为

所以对任意的正数, 存在

故f 在U （P ）内连续.

当时, 有

的充分必要条件是

:

故

时）,

所以

3． 设u n （x ）是[a, b]上非负连续函数, [a, b]上一定达到最小值.

【答案】记设

列, 仍记为{xk }, 不妨设

下证:u （x 0） =A. 反证法 若不然, 则由

, 使知,

, 使

, 当

由于S （递增, 故更有n x ）这样

便有

这与

相矛盾.

. 于是存在适当大的k , 使

,

.

时, 有

, 则S n （x ）递增趋向于u （x ）, 且

则存在点列

且

,

使

.

存在收敛子

在[a, b]上点态收敛于u （x ）. 证明:u （x ）在

. 由致密性定理知

,

由S n （x ）在点x 0处的连续性知,

二、解答题

4． （1）求表面积一定而体积最大的长方体；

（2）求体积一定而表面积最小的长方体.

【答案】（1）设长方体的长、宽、高分别为x , y , z , 表面积为限制条件为:

设

令

解得

因所求长方体体积的最大值, 且稳定点只有一个, 所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

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则体积为

故表面积一

（2）设长方体的长、宽、高分别为z , y , z , 体积为v , 则表面积件:xyz=u

设

令

解得

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.

5． 流体流速

S 求单位时间内穿过球面

限制条

（x>0, y>0, x>0）的流量.

【答案】设S 为所给球面, S 1, S 2, S 3是S 在三个坐标面上的投影面, 则有

其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S , S 1, S 2, S 3的单位法矢, 显然有于是所求流量为

6． 设a 0, a 1, a 2•••为等差数列

（1）幂级数（2）数项级数【答案】（1）因（2）考虑幂级数设

, 因

则

. 故

. , 试求: , 从而

的收敛半径； 的和数.

所以收敛半径R=l.

故该幂级数收敛半径为R=2, 且收敛域为（﹣2, 2）.

从而

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