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一、证明题

1． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与从而X 与即数，

由于

的特征函数为

所以

故

是实的偶函数.

2． 证明:对任意常数c , d , 有

）

【答案】

由

得

因而结论成立.

3． 来自正态总体于对称，

且

【答案】记正态分布则容量为

的样本中位数

的分布函数与密度函数分别为

的密度函数为

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先证充分性. 若是实的偶函数，则又因

有相同的特征函数，

有相同的密度函数，而X 的密度函数为

则X 与

所以得

有相同的特征函

关于原点是对称的.

有相同的密度函数，所以X 与

再证必要性，若

的容量为的样本中位数是证明的密度函数关

与

令此变换的雅可比行列式的绝对值于是y 的密度函数为

其中可得

与分别是标准正态分布

的分布函数与密度函数，依据它们的性质

这表明密度函数同时还有

4． 设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由由于X 的概率密度为

与

是偶函数，从而

的密度函数关于对称，

是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

相互独立知,

也相互独立,

所以

时,

分别为样本的均值

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

所以

由此证得（2）由

由于

, 所以

知从而

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与

相互独立知,

与

也相互独立, 从而

①此外, 由

① ②

将①, ②代入可得

从而得到目的最大似然估计量为

5． 设随机向量

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

由此得必要性:若由此得

6． 若

【答案】因为

，证明:

.

•，所以得

由此得

结论得证.

7． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,

有

【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有

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间的相关系数分别为且

【答案】充分性:若

两两不相关.

两两不相关，则由上面的推导可知

.