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一、证明题

1． 证明下列事件的运算公式:

（1）（2）

【答案】（1）右边=（2）利用（1）

有

=左边. , 所以

的样本，的密度函数为

已知，试证明，

是

于是

所以的费希尔信息量为

，这就是说

又

这就证明了

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

存在，试证明:

3． 设X 为非负连续随机变量，若

（2）

的任一无偏估计的C 一R 下界为

，的有效估计，

2． 设

是来自

从而也是UMVUE.

【答案】总体

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

，则

4． 设

是来自两参数指数分布

的样本，证明

是充分统计量.

【答案】由已知，样本联合密度函数为

令

由因子分解定理，

5． 任意两事件之并

的充分统计量•

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

6． 证明:容量为2的样本

【答案】

7． 若

【答案】因为

，证明:

.

•，所以得

由此得

结论得证.

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

的方差为

8． 设

证明:

为独立的随机变量序列，且

服从大数定律.

所以由

服从大数定律.

的独立性可得

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

二、计算题

9． 设流经一个

【答案】因为

电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间. 试求此电阻上

，所以平均功率为

10．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-l 个位置可坐，且这n-l 个位置都. 是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为

11．设和是两组样本观测值，且有如下关系:

试求样本均值

【答案】

因而得

12．若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，你认为他是否有诀窍？

【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题:

>

以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，验统计量可取为

在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1）, 故检验拒绝域为

消耗的平均功率，其中功率

间的关系.

和间的关系以及样本方差和

，由于样本量相当大，检