2018年北京市培养单位华大教育中心803概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
2． 设
是来自
服从大数定律. 的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
:
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. 又设
有
为一列常数，如果存
【答案】不妨设
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
的任一无偏估计的C 一R 下界为
3． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）
（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率. 4． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
存在，证明:对任意的 ，
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
5． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
6． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
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的UMVUE ,
，则，且
是的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
7． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
服从大数定律. 是样本，证明则
由
由于，
因而
所以
8． （1）设分布函数
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
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与的相关系数为
和
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差
的
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
雅可比行列式绝对值为