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一、证明题

1． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

2． 设（

不独立.

）为n 维随机变量, 其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

,

则以概率1

所以

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

不相关. 为证明X

证明:X 与

在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数

【答案】由于使得

另一方面,

意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量

方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得

3． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

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的概率分别

是证明

：

4． 对于组合数

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为

（3）因为

（4）因为

所以

（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，

则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为

由诸次

互不相容，且

得

把分母移至另一侧即得结论.

注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开

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证明：

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.

可得

比较上式两端的系数即可得

I

（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得

再利用（1）的结果即可得证.

5． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

6． 设X 为非负连续随机变量，证明：对

，则有

【答案】设X 的密度函数为p （X ）

7． 设

，试证

：

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为

单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是的密度函数.

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