2016年湖北师范学院数学与统计学院高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 求曲面
【答案】令在点即
法线方程为
2． 已知向量.
【答案】
由于
同时垂直，故所求向量可取为
处的一个法向量为
在点
处的切平面及法线方程。 ，则曲面在点
处的一个法向量
，故曲面在该点处的切平面方程
，（1，﹣1，2）（3, 3, 1）和（3, 1, 3）. 求与同时垂直的单位
由
知
3． 计算抛物线y>0，故有
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从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
4． 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：
【答案】
平面的交线，即空间直线
.
在平面解析几何中表示两直线的交点. 在空间解析几何中表示两
在平面解析几何中表示椭圆与其切线y=3的交点，即切点.
在空间解析几何中表示椭圆柱面
5． 把积
分
与其切平面y=3的交线，即空间直线.
表为极坐标形式的二次积分，其中积分区
域。
2
【答案】积分区域D 如图所示。抛物线y=x的极坐标方程为，直线y=1的极
坐标方程为，用射线和将D 分成三部分
图
因此
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6． 讨论函数
【答案】因为
故f （x ）在x=0处连续。
不存在，故f （x ）在x=0处不可导。
，在x=0处的连续性和可导性。
二、证明题
7． 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.
【答案】如图所示，D ，E 分别是CA 与BC 的中点. 由
知
即三角形两边中点的连线平行于第三边，且长度等于第三边长度的一半
.
图
8． 验证函数
【答案】因为
故
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（是常数）满足关系式:。