2017年哈尔滨工业大学理学院831高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+y=2，y=x和x 轴所围成，它的面密
度
，求该薄片的质量.
【答案】D 如图1所示. 所求薄片的质量
图1
2．
设
是
上从
取得最大值。
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
到
的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
令故
。
得唯一驻点
，由于
，所以
为极大值，即最大值，
3． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？
【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·
即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.
4． 下列计算是否正确，试说明理由:
（1）
（2）因为（3）
，所以
；
【答案】（1）不对，因为在[-1, 1]上有间断点x=0，不符合换元法的要求，积分一定为
正，因此该积分计算不对。事实上，
（2）不对，原因与（1）相同，事实上，
（3）不对，因为，当
时极限不存在，故
发散，也就得到
发散。
5． 求下列数项级数的和:
【答案】（1）利用取x=1, 有
又
其中 故
（2）因
故取x=1，有
于是