2017年哈尔滨工业大学深圳研究生院831高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知
【答案】设入方程并整理，得且上式成
为
取
即
是齐次线性方程
是方程的解，则
即
分离变量后积
分
再积分得
取故
2． 当x →0时，
【答案】
即
y 2与y 1线性相关，故原方程的通解为
与ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
，
∴n=2，且由
，故a=7。
n
的一个解，求此方程的通解。
代
令
则
，得
3． 在yOz 面上，求与三点A （3，1，2），B （4，一2，一2）和C （0，5，1）等距离的点.
，点P 与三点A ，B ，C 等距离，
【答案】所求点在yOz 面上，不妨设为P （0，y ，z ）
由即
解上述方程组，得y=1，z=﹣2. 故所求点坐标为（0，1，﹣2）
4． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域为
，
。
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知
小山的高度函数
为
（l ）设向导数的最大值为
也就是说，要在D 的边界线定攀岩起点的位置.
，问f （x ，y ）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方，试写出
的表达式.
上找出（1）中的g （x ，y ）达到最大值的点. 试确
在点
处沿梯度
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，
【答案】（l ）由梯度与方向导数的关系知，
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
（2）欲在D 的边界上求g （x ，y ）达到最大值的点，只需
求
达到最大值的点. 因此，作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
，得
式（9-14）+（9-15）
解得若若
或
。
，再由式（9-16）得
。
由于的起点。
5． 试求函数
【答案】
, 因此
时的导数。
，故
或
可作为攀岩
。
，则由式（9-14）得
，则由式（9-16）得
于是得到四个可能的极值点
6． 求下列各微分方程的通解：
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【答案】（1）由因
（2
）由消去
有
解得
不是特征方程的根，
故可设消去解
得即
有a=1，即
故对应的齐次方程的通解为
是原方程的一个特解，
代入原方程得
故原方程的通解为
是原方程的一个特解，代入方程得
因
故对应的齐次方程的
通解为
故原方程的通解为
A=1不是特征方程的根，故设
（3
）由
=5x-2x-1, 理，得
比较系数
得
2
解得
是特征方程的单根。故设
故对应的齐次方程的通解为
即
因f （x ）
是原方程的一个特解，代入方程并整
故原方程的通解
为
（4）由因
解得
故对应的齐次方程的通解为
是特征方程的单根，故可设
-x
是原方程的一个特解，代入方程并消去e ，
得
即
故原方程的通解为
（5）由因
比较系数，得
即
（6）
由
得
故对应的齐次方程的通解
为
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比较系数，
得
解得
故对应的齐次方程的通解为
是特征方程的单根，顾可
设
是原方程的一个特解，代入方程并消去e ，得
故原方程通解为
x
因