2017年哈尔滨工业大学理学院831高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列极限:
（1）（2）
【答案】（1）记
，其中f （x ）连续；
（2）先证明所求极限为未定式。 由于
当
时
，
>1，
记
故有
，从而利用洛必达法则有
，则
当
时
有
2． 求函数
【答案】
在点
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
在
处沿
的方向增加
沿方向减少最快，其方向导数为
3． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
【答案】（1）容易求出此级数的收敛半径为1，当
时，
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散，故它的和函数
（2）不难求出此级数的收敛半径为1，当
时，
有
在上式两端分别从0至x 积分，并由于
又原级数在
处均发散，故它的和函数
（3）记级数为
其收敛半径为1，当
时，有
在x=0处收敛于0，故得
在上式两端分别从0至x 积分，并注意到在x=0处收敛于0，故得
又原级数在有
处均匀发散，故它的和函数
当
当
时，
（4）容易求得此级数的收敛半径为1，收敛域
其中
4． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
故原级数的和函数
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
5． 设有质量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动（如图所示）
。设摩擦系数
, 问力F 与水平线为多少时, 才可使力F 的大小为最小。 【答案】如图所示, 力F 的大小用
表示, 则由
知
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