2018年华东交通大学理学院821数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在
上二阶可导,
, 证明存在一点
【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为
t
由此得到
于是
其中
或
, 并且满足
.
2． 用确界原理证明有限覆盖定理.
【答案】对闭区间[a, b]的任一开覆盖H , 构造数集S 如上, 显然S 有上界. 因为H 覆盖闭区间[a, b], 所以存在一个开区间区间覆盖, 从而
若
, 则,
使得
, 取
使得
, 取
, 使得
加进去可知
, 则[a, x]能被H 中有限个开
, 即S 非空. 由确界原理知, 存在
, 由H 覆盖[a, b]知, 存在,
且
, 这与
矛盾.
故
.
, 即[a, b]可被H 中的有限个开区间覆盖.
用类似的方法可以证明
,
则
, 使得
能被H 中有限个开区间覆盖,
把
二、解答题
3． 求下列函数在指定点的导数:
（1）设（2） 设（3）设【答案】（1）
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, 求
:, 求
, 求
, ,
, ；
,
；
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（2）
[.
（3）当故
x=0为f （x ）的定义域的端点, 所以在x=0处只能讨论单侧导数
.
所以
不存在.
4． 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限:
（1）（2）
【答案】（1）因为所以
原式=
（2）因为所以
原式=
5． 讨论反常积分
【答案】当故当
时, 对一切发散, 从而
时, 对一切
有
第
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时,
的敛散性.
有发散.
而
收敛,
而
发散,
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所以收敛, 又存在, 故收敛
.
6．
周长一定的等腰三角形中, 腰与底成何比例时,
它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？
【答案】设周长为, 腰长为X
, 底长为2y , 则有
于是, 旋转体体积为
由此推出
7． 设
【答案】
由于
求dz.
可微，故
8．
应用幂级数性质求下列级数的和:
（
1） （2） 【答案】⑴设
则
所以
从而
（2）可求得
的收敛域为（﹣1, 1], 设
则
故
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, 即. 等腰三角形绕底边旋
, 底面半
径为
转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的, 其中每个圆锥高
为
, 及
. 即腰与底的比为时, 旋转体的体积最大
.