2018年华北水利水电大学数学与信息科学学院701数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
,
其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.
【答案】因为在正方形的任何部分内, 函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数, 则函数f （x , y ）恒为零. 若y 为有理数, 则函数仅有有限个异于0的值,
因此
所以累次积分存在且
同理, 累次积分
2． 证明:
【答案】因为
所以
,
所以
二、解答题
3． 设f （x , y ）在区域D 上连续, 试将二重积分
（1）D 由不等式（2）D 由不等式.
化为不同顺序的累次积分:
所确定的区域; 所确定的区域;
（3）D 由不等式（4）
与
所确定的区域;
【答案】（1）积分区域D 如图
1.
图
1
（2）积分区域D 如图
2.
图
2
（3）积分区域D 如图
3.
图
3
（4）积分区域D 如图
4.
图
4
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4． 求下列不定积分
:
（1）（
4
）【答案】
（
1
）
（2
）
（3
）
（4）
（5）
（6）
（
2）
（
5
）
（3）
（6）
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