2018年湖南农业大学理学院602数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、综合题
1． 将函数
展开为傅氏级数, 并求级数
, 且
即得
由封闭性公式, 有
由此解得
2． 设函数f （x , y ）具有连续的n 阶偏导数, 试证:
函数
【答案】应用数学归纳法证明. 当n=l时,
且
设
成立, 则
所以, 对一切的n ,
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的和.
【答案】因为f （x ）是偶函数, 所以
的n 阶导数
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3．
求函数向导数.
【答案】易见u 在点（1, 1，2）处可微，故由
得
试问此函数，有何特征？
又
5． 求极限:
【答案】（1）因为x , 连续点. 于是
（2）该函数在x=1处为右连续, 于是
6． 已知
【答案】令
则
求
所以 7． 已知
级数
发散, 求证级数知, 级数收敛, 则
于是有
也发散.
均为正项级数.
都是R 上的连续函数, 所以当
时,
x 是
的
所以
即
说明函数，在点P （x , y ）的梯度向量与1
垂直.
4．
设f （X , y ）可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有
【答案】
设
上确定向量1的方向余弦为
则
在点（1，1，2）处沿方向1（其方向角分别为
，
，
）的方
【答案】反证法由假设级数
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从而由正项级数的比较判别法知级数
8． 求下列函数的稳定点:
（1）（2）
【答案】（1）
故（2）
的稳定点是, 由
得
收敛, 这与题设矛盾,
所以原命题成立.
. 由
得, 解得
, 解得x=1.故f （x ）的稳定点是x=1. |其中L 为上半圆周
从（a , 0）到（﹣a , 0）
9． 应用格林公式计算曲线积分的一段.
【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线, 不能应用格林公式, 加上从（﹣a , 0）到（a , 0）的直线段L 1,
则有
其中D 为封闭曲线L+ L1所围成的区域, 由极坐标变换,
即原积分
10．求曲面
【答案】
所以切平面方程为法线方程为
即9x+ y－z －27=0.
即x
－3－9
（y －1） =9 （1－z ）.
.
在点（3, 1, 1）处的切平面与法线方程.
二、证明题
11．证明:对连续函数f （x ）有
【答案】令
由于
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