● 摘要
算子谱理论、Weyl定理及效应代数是近年来算子理论中比较活跃的一些研究课题,在算子理论的研究中有着重要的理论价值和应用价值.对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支,诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼近论、优化理论与量子物理等. 本文研究内容涉及~Hilbert空间中算子矩阵的谱补、$C^*$代数上投影算子的 ~Drazin逆及~Moore-Penrose逆、 Banach空间上算子的Browder定理和Weyl定理、Hilbert空间中量子效应的下确界和广义下确界四个方面的内容.本文在研究方法上着重使用了算子分块技巧, 根据所研究的内容,对给定的算子进行适当的分块.通过对它们的研究可使算子之间的几何结构的内在关系变得更加清晰,由此揭示所涉及算子之间的更多信息. 全文分五章:
第一章运用空间分解理论、分块算子矩阵技巧,系统地研究了上三角算子矩阵的左谱、左本性谱、本性近似点谱的扰动问题.对给定的算子对 $(A,B),$ 给出存在左可逆算子$C$使得 $M_C$左可逆的充要条件; 存在可逆算子$C$使得 $M_C$ 左可逆的充要条件;存在左可逆算子 $C$ 使得 $M_C$ 是左Fredholm算子的充要条件; 存在可逆算子 $C$ 使得 $M_C$ 是左Fredholm算子的充要条件; 存在左可逆算子 $C$ 使得 $M_C$ 是左Weyl算子的充要条件; 存在可逆算子 $C$ 使得 $M_C$ 是左Weyl算子的充要条件.
第二章获得了无限维~Hilbert空间中两个幂等算子的差是Fredholm算子的一些充要条件; 进一步在含单位元的$C^*$代数上得到:两个投影算子的差及乘积~Drazin可逆和~Moore-Penrose可逆的一些充要条件;给出了两个投影算子的差及乘积的~Drazin逆和~Moore-Penrose逆的一些刻画.
第三章重点研究了~Banach 空间上的算子满足 Weyl定理和a-Weyl定理,得到了解析余亚正规算子满足a-Weyl定理;同时也讨论了上三角算子矩阵的Weyl定理和Browder定理.
第四章讨论了左乘算子$L_Ainmathcal{B(mathcal{B(H)})}$的约化极小模与$A$的约化极小模的关系;讨论了~Drazin 可逆算子的~Drazin 逆的约化极小模的上下界及~Drazin可逆算子的~Drazin 逆的约化极小模与算子的约化极小模的关系.
第五章用算子谱理论的方法和算子分块技巧, 研究了~Hilbert空间上两个效应的下确界问题.给出了两个正可逆算子存在下确界的充要条件, 肯定回答了Gudder提出的一个公开问题. 同时也讨论了两个效应的广义下确界的一些性质.