2018年北京市培养单位资源与环境学院603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
2．
设当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
3．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
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若要使得原线性方程组有无穷多解，则有
及
得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为非齐次方程的特解为故其通解为k 为任意常
数.
4．
已知
，求
【答案】令则
且有
1
所以
二、计算题
5． 设3阶对称阵A 的特征值为与特征值A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A 的对应于特征值
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
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