2018年北京市培养单位资源与环境学院603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
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则P 可逆，且 2．
设
记
证明
：
为三维单位列向量，并且
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解
；
（Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量
.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值，
为4的2
重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A
为3
阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
3． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
则
即A
相似于矩阵
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。
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当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
知
的基础解系，
即为
的特征向量
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题