2018年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
3．
设矩阵
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令 4．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
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再将
单位化，得正交矩阵：
且有
二、计算题
5． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A
的特征值.
【答案】
由特征方程的定义因此，只需证
而
是
A 的特征值
6． 设A
，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是
AB=BA.
【答案】因
7
． 判定下列二次型的正定性：
（1）（
2）
【答案】（l ）
f 的矩阵
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型.
故AB
为对称阵
2阶主子式
则知f 为负定二次型.
，3阶主子式，即则